Mais desafios sobre ângulo

(OBMEP-2005) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo 
BÂC mede 30°. O triângulo BCD é isósceles de base BD.
Determine a medida do ângulo D^CA.
(A) 45°
(B) 50°
(C) 60°
(D) 75°
(E) 90°







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Desafio envolvendo ângulos

(OBMEP-2005)Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?
(A) 90°
(B) 120°
(C) 135°
(D) 150°
(E) 165°
   



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Ilusão de optíca

O termo Ilusão de ótica aplica-se a todas ilusões que "enganam" o sistema visual humano fazendo-nos ver qualquer coisa que não está presente ou fazendo-nos vê-la de um outro modo. Algumas são de carácter fisiológico, outras de carácter cognitivo.

As ilusões de óptica podem surgir naturalmente ou serem criadas por astúcias visuais específicas que demonstram certas hipóteses sobre o funcionamento do sistema visual humano.

Ilusão de óptica são imagens que enganam momentaneamente o cérebro deixando o inconsciente confuso e fazendo com que este capte idéias falsas, preenchendo espaços que não ficam claros à primeira vista. Podem ser fisiológicas quando surgem naturalmente ou cognitivas quando se cria com artifícios visuais.

Uma das mais famosas imagens, que causa ilusão de óptica, foi criada em 1915 pelo cartunista W. E. Hill. Nesta figura duas imagens podem ser vistas. Uma é uma garota, posicionada de perfil olhando para longe, a outra é o rosto de uma senhora idosa que olha para o chão.

Operações com números Racionais : adição e subtração de frações

Para somar frações, devemos verificar se têm o mesmo denominador. Caso contrário, reduzimos a um denominador comum e depois somamos os numeradores e colocamos o denominador comum.

Exemplo:

Para somar um número Inteiro e uma fração, transformamos o número Inteiro em número Fracionário com o mesmo denominador da fração. Depois, somamos os numeradores e deixamos o mesmo denominador.

Exemplo:

2 + 1 = 6 + 1 = 7 3 3 3 3

Propriedades da adição de números Racionais 

•Propriedade do fechamento: a adição no conjunto dos números Racionais é uma operação fechada, pois o resultado sempre será outro número Racional. 

Se a Q e b Q então a + b = c Q

Exemplo:

1 + 4 = 5 + 12 = 17 3 5 15 15 15

• Propriedade comutativa: podemos escrever s diferentes parcelas em qualquer ordem, sem que isto altere a soma.

a + c = c + a b d d b

Exemplo: 

3 + 9 = 9 + 3 4 4 4 4

• Propriedade associativa: a adição de números Racionais tem a propriedade associativa, pois podemos substituir duas ou mais parcelas pela soma já efetuada: 


Exemplo:

• Elemento neutro: no conjunto dos números Racionais, existe um elemento neutro com relação à soma. Assim: 

a + elemento neutro = a b b

O número Racional 0 é o elemento neutro da adição de números Racionais. 

Exemplo:

2 + 0 = 0 + 2 = 2 3 3 3

• Elemento oposto: para cada elemento do conjunto dos números Racionais existe um elemento oposto com relação à adição. Desse modo: 



Subtração de frações
Para subtrair números Racionais, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo:

Equação de primeiro grau

 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

   (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

  

  

   Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

   A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

   Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2ºmembro.

                

   Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Numeros Racionais

Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais por aí, mas você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais, que é representado pela letra .

Mas o que são Números Racionais?

Em geral, nós dizemos que todo número escrito da forma  é um número racional, sendo que p e qsão números inteiros e q ≠ 0. Observe que  pode ser positivo ou negativo, já que p e q são inteiros.

Mas o que os números decimais têm a ver com tudo isso?

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo , nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Vamos ver alguns exemplos de números inteiros expressos como decimais:

3 = 0,75
4           

– 17 = – 8,5
2         

100 = – 12,5
– 8                

12 = 2,4
5         

Curiosidade: A letra  foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5
4

– 100 = – 10
10

27 = – 3
–9

10 = 2
5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais ().

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração , se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3,obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração  que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...
9                 

– 12 = – 0,148148148...
81                              

7 = 0,0388888...
180                        

5 = – 0,185185185...
–27                                

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matematica

Numeros negativos

Que tal um desafio? Pense no menor número que puder!Será que você pensou no zero? Se sim, preciso lhe contar que há alguns números que conseguem ser menores que ele. Alguns não,existem infinitos números menores que o zero! E é bem provável que você já os tenha visto por aí.

Sempre que estamos no inverno as temperaturas caem. Algumas cidades do Sul do Brasil chegam até mesmo a nevar. Quando isso acontece, a temperatura está menor do que zero. Em Urupema, cidade de Santa Catarina, a temperatura já chegou a atingir-6,8°C no ano de 2013.

Vou propôr-lhe um novo desafio! Dessa vez será uma perguntinha rápida: “Você tem R$ 5,00 reais em sua carteira, perde uma aposta para seu amigo e fica devendo R$ 8,00 para ele. Após pagar a aposta, qual será sua situação?” Nesse caso, se você pagar os R$ 5,00 reais ao seu amigo, ainda ficará devendo R$ 3,00 a ele. Podemos dizer que seu saldo é de – 3 reais.

Os números negativos que citamos, assim como todos os outros existentes, pertencem a um conjunto numérico muito especial chamado Conjunto dos Números Inteiros, que pode ser representado pela letra . Os números inteiros são formados pelos números naturais e também pelos números negativos, além do zero, que não possui sinal. Podemos representar esse conjunto numérico da seguinte forma:

 = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}.

Esse conjunto é dito infinito positivamente e infinito negativamente, pois possui infinitos números positivos e negativos. Outra forma de visualizar os números negativos é através da reta numérica, pois ela consegue organizá-los de forma eficiente, além do fato de que a reta dá-nos a ideia de infinidade. Na reta numérica, à direita do zero, ficam os números naturais (positivos) e, à esquerda do zero, ficam os números negativos:

Representando os números inteiros através da reta numérica

Há algumas situações em que não é adequado utilizar todos os números inteiros. Para esses casos, temos alguns conjuntos numéricos especiais e suas representações:

Conjunto dos Números Inteiros não nulos (sem o zero)

* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não negativos (zero e números positivos)

₊ = {0, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros positivos (apenas números maiores que zero)

*₊ = { 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não positivos (zero e números negativos)

_– = {…, – 3, – 2, – 1, 0}.

Conjunto dos Números Inteiros negativos (apenas números menores que o zero)

*_– = {…, – 3, – 2, – 1}.