Desafios da Matematica

terça-feira, 8 de março de 2016

Numeros Racionais

Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais por aí, mas você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais, que é representado pela letra

Mas o que são Números Racionais?

Em geral, nós dizemos que todo número escrito da forma

é um número racional, sendo que p e qsão números inteiros e q ≠ 0. Observe que

pode ser positivo ou negativo, já que p e q são inteiros.

Mas o que os números decimais têm a ver com tudo isso?

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo

, nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Vamos ver alguns exemplos de números inteiros expressos como decimais:

3 = 0,75
4

– 17 = – 8,5
2

100 = – 12,5
– 8

12 = 2,4
5

Curiosidade: A letra

foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5
4

– 100 = – 10
10

27 = – 3
–9

10 = 2
5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais (

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração

, se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3,obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração

que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...
9

– 12 = – 0,148148148...
81

7 = 0,0388888...
180

5 = – 0,185185185...
–27

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matematica

Numeros negativos

Que tal um desafio? Pense no menor número que puder!Será que você pensou no zero? Se sim, preciso lhe contar que há alguns números que conseguem ser menores que ele. Alguns não,existem infinitos números menores que o zero! E é bem provável que você já os tenha visto por aí.

Sempre que estamos no inverno as temperaturas caem. Algumas cidades do Sul do Brasil chegam até mesmo a nevar. Quando isso acontece, a temperatura está menor do que zero. Em Urupema, cidade de Santa Catarina, a temperatura já chegou a atingir-6,8°C no ano de 2013.

Vou propôr-lhe um novo desafio! Dessa vez será uma perguntinha rápida: “Você tem R$ 5,00 reais em sua carteira, perde uma aposta para seu amigo e fica devendo R$ 8,00 para ele. Após pagar a aposta, qual será sua situação?” Nesse caso, se você pagar os R$ 5,00 reais ao seu amigo, ainda ficará devendo R$ 3,00 a ele. Podemos dizer que seu saldo é de – 3 reais.

Os números negativos que citamos, assim como todos os outros existentes, pertencem a um conjunto numérico muito especial chamado Conjunto dos Números Inteiros, que pode ser representado pela letra

. Os números inteiros são formados pelos números naturais e também pelos números negativos, além do zero, que não possui sinal. Podemos representar esse conjunto numérico da seguinte forma:

= {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}.

Esse conjunto é dito infinito positivamente e infinito negativamente, pois possui infinitos números positivos e negativos. Outra forma de visualizar os números negativos é através da reta numérica, pois ela consegue organizá-los de forma eficiente, além do fato de que a reta dá-nos a ideia de infinidade. Na reta numérica, à direita do zero, ficam os números naturais (positivos) e, à esquerda do zero, ficam os números negativos:

Representando os números inteiros através da reta numérica

Há algumas situações em que não é adequado utilizar todos os números inteiros. Para esses casos, temos alguns conjuntos numéricos especiais e suas representações:

Conjunto dos Números Inteiros não nulos (sem o zero)

* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não negativos (zero e números positivos)

₊ = {0, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros positivos (apenas números maiores que zero)

*₊ = { 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não positivos (zero e números negativos)

_–= {…, – 3, – 2, – 1, 0}.

Conjunto dos Números Inteiros negativos (apenas números menores que o zero)

*_–= {…, – 3, – 2, – 1}.

segunda-feira, 7 de março de 2016

O Surgimento da fração

No antigo Egito por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do Rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.^[1]

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de numeração decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como

\frac{1}{6},

designa o inteiro dividido em

{6}

partes iguais ao qual usa-se o número

{1}

de partes.^[2] Neste caso,

{a}

corresponde ao numerador, enquanto

{b}

corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.^[2] ^[3]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4 =

\frac{3}{4}

(lê-se três-quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração

\frac{56}{8}

(lê-se cinquenta e seis-oitavos) designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais, cujo conjunto é representado por

\mathbb Q.

Assim, o conjunto dos números racionais podem ser escritos na forma

\frac {a}{b},

sendo

a,b \in \mathbb{Z}

b \neq 0,

o que resulta em:

\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.

^[4] ^[5]

Outro modo de enxergar frações é imaginar uma linha reta entre os números 0 e 1. As frações serão pontos nessa reta. Por exemplo, a fração 1/2 é representada por um ponto exatamente na metade dessa reta.,

É possível efetuar operações básicas com as frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação

Tipos de frações

Própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$ (lê-se um-meio).
Imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.^[2] Ex.: $\frac{9}{5}$ (lê-se nove-quintos).
Mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária.^[6] Ex.: $2 \frac{1}{3}$ (lê-se dois um-terço). Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: $3\frac{1}{2}$ (lê-se três um-meio) => 2x3=6; 6+1=7 (7=numerador/2=denominador), e assim por diante, repetindo o denominador.
Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja um número inteiro escrito em forma de fração. Ex.: $1=\frac{4}{4}$ (lê-se um igual a quatro-quartos).
Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{4}$ $= \frac{2}{2}$ (lê-se quatro-quartos igual a dois-meios) ou $\frac{3}{7}$ $=\frac{6}{14}$ (lê-se três-sétimos igual a seis-quatorze avos). Veja que as frações se relacionam por um fator multiplicativo: no primeiro caso, $\frac{4}{4}$ é 2 vezes $\frac{2}{2}$ e no segundo caso $\frac{6}{14}$ é 2 vezes $\frac{3}{7}$ .
Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$ (lê-se nove-vinte e dois avos).
Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
Egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$ (lê-se um-terço mais um-quinto mais um-quinze avos igual a três-quintos).
Decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.: $\frac{437}{1000}$ (lê-se quatrocentos e trinta e sete-mil avos).
Composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$ (lê-se dezenove-quinze avos por cinco-sextos).
Contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k} )$ da seguinte maneira $a_{0} + \frac{1}{ a_{1}+ \frac{1}{ a_{2} \dots \frac{1}{a_{k-1} + \frac{1}{a_{k}}} } }$
Algébrica: fração onde no denominador, há incógnita $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$ .

Fonte:Wikipédia.

domingo, 6 de março de 2016

A Origem de tudo na matematica

Os matemáticos de hoje em dia se baseiam muito em demonstrações atuais, envolvendo a chamada “matemática pura” que só desenvolveu-se dando mais ênfase a ciência a partir do século XIX. Porém tudo antes desse grande século de proveito significativo a matemática aparecia com inúmeras concepções que poderíamos tratar como pré-requisitos mas que o homem analisaria e estudaria tudo de uma forma bem primitiva . Muitas definições matemáticas hoje utilizadas e adotadas de forma padrão, tiveram origem nos primeiros tempos da raça humana, como os princípios de contagem, a distinção de algarismos, formas , conjuntos e unidades.

O que podia-se perceber é que a própria observação da natureza nos conduzia a identificar a diferença de quantidade entre elementos iguais, como por exemplo: uma única abelha e um enxame, a abelha representando a unicidade e o enxame um conjunto diferenciando o muito e o pouco. A nossa afirmação como atribuição do número como forma de representação se torna mais clara e direta quando o homem primitivo adota uma certa linguagem de sinais usando dedos dos pés e das mãos ou até mesmo alguns materiais concretos como pedras que auxiliavam nos métodos de contagem. Curiosamente acredita-se que em grupos de cinco em cinco elas se agrupavam, pelo fato do números de dedos nas mão serem cinco. Esse fato ocorria para as representações de números maiores não sendo possível a representação, somente a combinação que representaria os números pelos membros.

O desenvolvimento da comunicação e da fala pelo homem primitivo foi de grande auxilio para o desenvolvimento do pensamento abstrato da matemática, fazendo com que a linguagem da matemática concreta se aproximasse muito com o da matemática abstrata. Assim como alguns rumores da história da matemática conta que a forma de linguagem para números pares e ímpares teria sido a separação ou distinção dentro de certas tribos como membros do sexo masculino e membros do feminino, representando um com número par e outro com número impar a fim de se estabelecer uma ordem.

Afirmar sobre conceitos e de fato as origens da matemática é um pouco complicado, pois as noções primitivas aparecem antes da escrita. Um importante fato referindo a essas afirmações, seria onde teria surgido a geometria, pois não existem documentos nem provas de que como a “matemática em formas” teria surgido, acredita-se que a necessidade e a observação quanto a criações, mostram que possa ter sido no Egito, mas no entanto não podemos afirmar pois não a nada em que nos apoiar como provas a origem da geometria. A história da matemática esta só em documentos da época.