Desafios da Matematica: março 2016

terça-feira, 29 de março de 2016

Ilusão de optíca

O termo Ilusão de ótica aplica-se a todas ilusões que "enganam" o sistema visual humano fazendo-nos ver qualquer coisa que não está presente ou fazendo-nos vê-la de um outro modo. Algumas são de carácter fisiológico, outras de carácter cognitivo.

As ilusões de óptica podem surgir naturalmente ou serem criadas por astúcias visuais específicas que demonstram certas hipóteses sobre o funcionamento do sistema visual humano.

Ilusão de óptica são imagens que enganam momentaneamente o cérebro deixando o inconsciente confuso e fazendo com que este capte idéias falsas, preenchendo espaços que não ficam claros à primeira vista. Podem ser fisiológicas quando surgem naturalmente ou cognitivas quando se cria com artifícios visuais.

Uma das mais famosas imagens, que causa ilusão de óptica, foi criada em 1915 pelo cartunista W. E. Hill. Nesta figura duas imagens podem ser vistas. Uma é uma garota, posicionada de perfil olhando para longe, a outra é o rosto de uma senhora idosa que olha para o chão.

quarta-feira, 9 de março de 2016

Operações com números Racionais : adição e subtração de frações

Para somar frações, devemos verificar se têm o mesmo denominador. Caso contrário, reduzimos a um denominador comum e depois somamos os numeradores e colocamos o denominador comum.

Exemplo:

Para somar um número Inteiro e uma fração, transformamos o número Inteiro em número Fracionário com o mesmo denominador da fração. Depois, somamos os numeradores e deixamos o mesmo denominador.

Exemplo:

2	+	1	=	6	+	1	=	7
		3		3		3		3

Propriedades da adição de números Racionais

•Propriedade do fechamento: a adição no conjunto dos números Racionais é uma operação fechada, pois o resultado sempre será outro número Racional.

Se a

Q e b

Q então a + b = c

Q

Exemplo:

1	+	4	=	5	+	12	=	17
3		5		15		15		15

• Propriedade comutativa: podemos escrever s diferentes parcelas em qualquer ordem, sem que isto altere a soma.

a	+	c	=	c	+	a
b		d		d		b

Exemplo:

3	+	9	=	9	+	3
4		4		4		4

• Propriedade associativa: a adição de números Racionais tem a propriedade associativa, pois podemos substituir duas ou mais parcelas pela soma já efetuada:

Exemplo:

• Elemento neutro: no conjunto dos números Racionais, existe um elemento neutro com relação à soma. Assim:

a	+ elemento neutro =	a
b		b

O número Racional 0 é o elemento neutro da adição de números Racionais.

Exemplo:

2	+	0	=	0	+	2	=	2
3						3		3

• Elemento oposto: para cada elemento do conjunto dos números Racionais existe um elemento oposto com relação à adição. Desse modo:

Subtração de frações
Para subtrair números Racionais, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo:

terça-feira, 8 de março de 2016

Equação de primeiro grau

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2ºmembro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Numeros Racionais

Você provavelmente já deve ter visto muitas frações e números decimais por aí, mas você sabia que elas possuem algo em comum? As frações e os números decimais pertencem a um mesmo conjunto numérico, o Conjunto dos Números Racionais, que é representado pela letra

Mas o que são Números Racionais?

Em geral, nós dizemos que todo número escrito da forma

é um número racional, sendo que p e qsão números inteiros e q ≠ 0. Observe que

pode ser positivo ou negativo, já que p e q são inteiros.

Mas o que os números decimais têm a ver com tudo isso?

Você já ouviu dizer que toda fração é uma divisão? Pois então, se temos uma fração do tipo

, nós podemos representá-la como 0,5, já que, ao dividirmos o numerador 1 pelo denominador 2, obtemos o quociente 0,5. Portanto, podemos afirmar que os decimais e as frações são alternativas para representar um mesmo número racional. Vamos ver alguns exemplos de números inteiros expressos como decimais:

3 = 0,75
4

– 17 = – 8,5
2

100 = – 12,5
– 8

12 = 2,4
5

Curiosidade: A letra

foi escolhida para representar o conjunto dos números racionais porque quociente começa com q e é resultado de uma divisão. Como já foi dito, toda fração é uma divisão.

E os números naturais e inteiros são racionais também?

Tanto os números naturais quanto os números inteiros podem ser classificados como números racionais, pois cada um deles pode ser expresso como uma fração. Vejamos alguns exemplos:

20 = 5
4

– 100 = – 10
10

27 = – 3
–9

10 = 2
5

Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais () e o conjunto dos números inteiros () pertencem ao conjunto dos números racionais (

Dízimas periódicas e Fração Geratriz

Existe uma classe especial de números racionais que é composta pelas dízimas periódicas — números decimais infinitos que são resultados de divisões inexatas. Por exemplo, dada a fração

, se dividirmos seu numerador 1 pelo denominador 3,obteremos o quociente 0,333333.... Observe que o número 3 repete-se infinitamente, portanto esse quociente pode ser chamado de dízima periódica e a fração

que lhe deu origem recebe o nome de fração geratriz.

Vejamos exemplos de outras dízimas periódicas e suas respectivas frações geratrizes:

15 = 1,6666...
9

– 12 = – 0,148148148...
81

7 = 0,0388888...
180

5 = – 0,185185185...
–27

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matematica

Numeros negativos

Que tal um desafio? Pense no menor número que puder!Será que você pensou no zero? Se sim, preciso lhe contar que há alguns números que conseguem ser menores que ele. Alguns não,existem infinitos números menores que o zero! E é bem provável que você já os tenha visto por aí.

Sempre que estamos no inverno as temperaturas caem. Algumas cidades do Sul do Brasil chegam até mesmo a nevar. Quando isso acontece, a temperatura está menor do que zero. Em Urupema, cidade de Santa Catarina, a temperatura já chegou a atingir-6,8°C no ano de 2013.

Vou propôr-lhe um novo desafio! Dessa vez será uma perguntinha rápida: “Você tem R$ 5,00 reais em sua carteira, perde uma aposta para seu amigo e fica devendo R$ 8,00 para ele. Após pagar a aposta, qual será sua situação?” Nesse caso, se você pagar os R$ 5,00 reais ao seu amigo, ainda ficará devendo R$ 3,00 a ele. Podemos dizer que seu saldo é de – 3 reais.

Os números negativos que citamos, assim como todos os outros existentes, pertencem a um conjunto numérico muito especial chamado Conjunto dos Números Inteiros, que pode ser representado pela letra

. Os números inteiros são formados pelos números naturais e também pelos números negativos, além do zero, que não possui sinal. Podemos representar esse conjunto numérico da seguinte forma:

= {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}.

Esse conjunto é dito infinito positivamente e infinito negativamente, pois possui infinitos números positivos e negativos. Outra forma de visualizar os números negativos é através da reta numérica, pois ela consegue organizá-los de forma eficiente, além do fato de que a reta dá-nos a ideia de infinidade. Na reta numérica, à direita do zero, ficam os números naturais (positivos) e, à esquerda do zero, ficam os números negativos:

Representando os números inteiros através da reta numérica

Há algumas situações em que não é adequado utilizar todos os números inteiros. Para esses casos, temos alguns conjuntos numéricos especiais e suas representações:

Conjunto dos Números Inteiros não nulos (sem o zero)

* = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não negativos (zero e números positivos)

₊ = {0, 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros positivos (apenas números maiores que zero)

*₊ = { 1, 2, 3, …}.

Conjunto dos Números Inteiros não positivos (zero e números negativos)

_–= {…, – 3, – 2, – 1, 0}.

Conjunto dos Números Inteiros negativos (apenas números menores que o zero)

*_–= {…, – 3, – 2, – 1}.

segunda-feira, 7 de março de 2016

O Surgimento da fração

No antigo Egito por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do Rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.^[1]

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de numeração decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como

\frac{1}{6},

designa o inteiro dividido em

{6}

partes iguais ao qual usa-se o número

{1}

de partes.^[2] Neste caso,

{a}

corresponde ao numerador, enquanto

{b}

corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.^[2] ^[3]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4 =

\frac{3}{4}

(lê-se três-quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração

\frac{56}{8}

(lê-se cinquenta e seis-oitavos) designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais, cujo conjunto é representado por

\mathbb Q.

Assim, o conjunto dos números racionais podem ser escritos na forma

\frac {a}{b},

sendo

a,b \in \mathbb{Z}

b \neq 0,

o que resulta em:

\mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.

^[4] ^[5]

Outro modo de enxergar frações é imaginar uma linha reta entre os números 0 e 1. As frações serão pontos nessa reta. Por exemplo, a fração 1/2 é representada por um ponto exatamente na metade dessa reta.,

É possível efetuar operações básicas com as frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação

Tipos de frações

Própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$ (lê-se um-meio).
Imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.^[2] Ex.: $\frac{9}{5}$ (lê-se nove-quintos).
Mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária.^[6] Ex.: $2 \frac{1}{3}$ (lê-se dois um-terço). Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: $3\frac{1}{2}$ (lê-se três um-meio) => 2x3=6; 6+1=7 (7=numerador/2=denominador), e assim por diante, repetindo o denominador.
Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja um número inteiro escrito em forma de fração. Ex.: $1=\frac{4}{4}$ (lê-se um igual a quatro-quartos).
Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{4}$ $= \frac{2}{2}$ (lê-se quatro-quartos igual a dois-meios) ou $\frac{3}{7}$ $=\frac{6}{14}$ (lê-se três-sétimos igual a seis-quatorze avos). Veja que as frações se relacionam por um fator multiplicativo: no primeiro caso, $\frac{4}{4}$ é 2 vezes $\frac{2}{2}$ e no segundo caso $\frac{6}{14}$ é 2 vezes $\frac{3}{7}$ .
Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$ (lê-se nove-vinte e dois avos).
Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
Egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$ (lê-se um-terço mais um-quinto mais um-quinze avos igual a três-quintos).
Decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.: $\frac{437}{1000}$ (lê-se quatrocentos e trinta e sete-mil avos).
Composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$ (lê-se dezenove-quinze avos por cinco-sextos).
Contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k} )$ da seguinte maneira $a_{0} + \frac{1}{ a_{1}+ \frac{1}{ a_{2} \dots \frac{1}{a_{k-1} + \frac{1}{a_{k}}} } }$
Algébrica: fração onde no denominador, há incógnita $\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}$ .

Fonte:Wikipédia.